8.4 Modelos de média móvel Em vez de usar valores passados da variável de previsão em uma regressão, um modelo de média móvel usa erros de previsão passados em um modelo de regressão. Y e teta teta e dots theta e, onde et é ruído branco. Referimo-nos a isto como um modelo MA (q). É claro que não observamos os valores de et, então não é realmente regressão no sentido usual. Observe que cada valor de yt pode ser considerado como uma média móvel ponderada dos últimos erros de previsão. No entanto, os modelos de média móvel não devem ser confundidos com o alisamento médio móvel discutido no Capítulo 6. Um modelo de média móvel é usado para prever valores futuros, enquanto o alisamento médio móvel é usado para estimar o ciclo tendencial de valores passados. Figura 8.6: Dois exemplos de dados de modelos de média móvel com diferentes parâmetros. Esquerda: MA (1) com y t 20e t 0,8e t-1. Direita: MA (2) com y t e t - e t-1 0,8e t-2. Em ambos os casos, e t é normalmente distribuído ruído branco com média zero e variância um. A Figura 8.6 mostra alguns dados de um modelo MA (1) e um modelo MA (2). Alterando os parâmetros theta1, dots, thetaq resulta em diferentes padrões de séries temporais. Tal como acontece com modelos autorregressivos, a variância do termo de erro e só mudará a escala da série, não os padrões. É possível escrever qualquer modelo AR (p) estacionário como um modelo MA (infty). Por exemplo, usando a substituição repetida, podemos demonstrar isso para um modelo AR (1): begin yt amp phi1y et amp phi1 (phi1y e) amp phi12y phi1 e amp phi13y phi12e phi1 e amptext final Fornecido -1 lt phi1 lt 1, o valor de phi1k será menor à medida que k for maior. Assim, eventualmente, obtemos yt et phi1 e phi12 e phi13 e cdots, um processo MA (infty). O resultado inverso é válido se impomos algumas restrições nos parâmetros MA. Em seguida, o modelo MA é chamado invertible. Ou seja, que podemos escrever qualquer processo de MA (q) invertível como um processo AR (infty). Modelos Invertiveis não são simplesmente para nos permitir converter de modelos MA para modelos AR. Eles também têm algumas propriedades matemáticas que torná-los mais fáceis de usar na prática. As restrições de invertibilidade são semelhantes às restrições de estacionaridade. Para um modelo MA (1): -1lttheta1lt1. Para um modelo MA (2): -1lttheta2lt1, theta2theta1 gt-1, theta1-theta2 lt 1. Condições mais complicadas mantêm-se para qge3. Novamente, R cuidará dessas restrições ao estimar os modelos.2.1 Modelos de média móvel (modelos MA) Modelos de séries temporais conhecidos como modelos ARIMA podem incluir termos autorregressivos e / ou termos de média móvel. Na Semana 1, aprendemos um termo autorregressivo em um modelo de série temporal para a variável x t é um valor retardado de x t. Por exemplo, um termo autorregressivo de atraso 1 é x t-1 (multiplicado por um coeficiente). Esta lição define termos de média móvel. Um termo de média móvel num modelo de séries temporais é um erro passado (multiplicado por um coeficiente). Vamos (wt overset N (0, sigma2w)), significando que os w t são identicamente, distribuídos independentemente, cada um com uma distribuição normal com média 0 e a mesma variância. O modelo de média móvel da 1ª ordem, denotado por MA (1) é (xt mu wt theta1w) O modelo de média móvel de 2ª ordem, denotado por MA (2) é (xt mu wt theta1w theta2w) , Denotado por MA (q) é (xt mu wt theta1w theta2w pontos thetaqw) Nota. Muitos livros didáticos e programas de software definem o modelo com sinais negativos antes dos termos. Isso não altera as propriedades teóricas gerais do modelo, embora ele inverta os sinais algébricos de valores de coeficientes estimados e de termos (não-quadrados) nas fórmulas para ACFs e variâncias. Você precisa verificar o software para verificar se sinais negativos ou positivos foram utilizados para escrever corretamente o modelo estimado. R usa sinais positivos em seu modelo subjacente, como fazemos aqui. Propriedades Teóricas de uma Série de Tempo com um Modelo MA (1) Observe que o único valor não nulo na ACF teórica é para o atraso 1. Todas as outras autocorrelações são 0. Assim, uma ACF de amostra com uma autocorrelação significativa apenas no intervalo 1 é um indicador de um possível modelo MA (1). Para os estudantes interessados, provas destas propriedades são um apêndice a este folheto. Exemplo 1 Suponha que um modelo MA (1) seja x t 10 w t .7 w t-1. Onde (wt overset N (0,1)). Assim, o coeficiente 1 0,7. O ACF teórico é dado por Um gráfico deste ACF segue. O gráfico apenas mostrado é o ACF teórico para um MA (1) com 1 0,7. Na prática, uma amostra normalmente não proporciona um padrão tão claro. Usando R, simulamos n 100 valores de amostra usando o modelo x t 10 w t .7 w t-1 onde w t iid N (0,1). Para esta simulação, segue-se um gráfico de séries temporais dos dados da amostra. Não podemos dizer muito desse enredo. A ACF de amostra para os dados simulados segue. Observa-se que a amostra ACF não corresponde ao padrão teórico do MA subjacente (1), ou seja, que todas as autocorrelações para os atrasos de 1 serão 0 Uma amostra diferente teria uma ACF de amostra ligeiramente diferente mostrada abaixo, mas provavelmente teria as mesmas características gerais. Propriedades teóricas de uma série temporal com um modelo MA (2) Para o modelo MA (2), as propriedades teóricas são as seguintes: Note que os únicos valores não nulos na ACF teórica são para os retornos 1 e 2. As autocorrelações para atrasos maiores são 0 . Assim, uma ACF de amostra com autocorrelações significativas nos intervalos 1 e 2, mas autocorrelações não significativas para atrasos maiores indica um possível modelo MA (2). Iid N (0,1). Os coeficientes são 1 0,5 e 2 0,3. Como este é um MA (2), o ACF teórico terá valores não nulos apenas nos intervalos 1 e 2. Valores das duas autocorrelações não nulas são Um gráfico do ACF teórico segue. Como quase sempre é o caso, dados de exemplo não vai se comportar tão perfeitamente como a teoria. Foram simulados n 150 valores de amostra para o modelo x t 10 w t .5 w t-1 .3 w t-2. Onde w t iid N (0,1). O gráfico da série de tempo dos dados segue. Como com o gráfico de série de tempo para os dados de amostra de MA (1), você não pode dizer muito dele. A ACF de amostra para os dados simulados segue. O padrão é típico para situações em que um modelo MA (2) pode ser útil. Existem dois picos estatisticamente significativos nos intervalos 1 e 2, seguidos por valores não significativos para outros desfasamentos. Note que devido ao erro de amostragem, o ACF de amostra não corresponde exactamente ao padrão teórico. ACF para modelos MA (q) gerais Uma propriedade dos modelos MA (q) em geral é que existem autocorrelações não nulas para os primeiros q lags e autocorrelações 0 para todos os retornos gt q. Não-unicidade de conexão entre os valores de 1 e (rho1) no modelo MA (1). No modelo MA (1), para qualquer valor de 1. O 1/1 recíproco dá o mesmo valor para Como exemplo, use 0,5 para 1. E então use 1 / (0,5) 2 para 1. Você obterá (rho1) 0,4 em ambas as instâncias. Para satisfazer uma restrição teórica chamada invertibilidade. Nós restringimos os modelos MA (1) para ter valores com valor absoluto menor que 1. No exemplo dado, 1 0,5 será um valor de parâmetro permitido, enquanto que 1 1 / 0,5 2 não. Invertibilidade de modelos MA Um modelo MA é dito ser inversível se for algébrica equivalente a um modelo de ordem infinita convergente. Por convergência, queremos dizer que os coeficientes de AR diminuem para 0 à medida que avançamos no tempo. Invertibilidade é uma restrição programada em séries temporais de software utilizado para estimar os coeficientes de modelos com MA termos. Não é algo que verificamos na análise de dados. Informações adicionais sobre a restrição de invertibilidade para modelos MA (1) são fornecidas no apêndice. Teoria Avançada Nota. Para um modelo MA (q) com um ACF especificado, existe apenas um modelo invertible. A condição necessária para a invertibilidade é que os coeficientes têm valores tais que a equação 1- 1 y-. - q y q 0 tem soluções para y que caem fora do círculo unitário. Código R para os Exemplos No Exemplo 1, traçamos o ACF teórico do modelo x t 10w t. 7w t-1. E depois simularam n 150 valores deste modelo e traçaram a série temporal da amostra e a amostra ACF para os dados simulados. Os comandos R utilizados para traçar o ACF teórico foram: acfma1ARMAacf (mac (0,7), lag. max10) 10 atrasos de ACF para MA (1) com theta1 0,7 lags0: 10 cria uma variável chamada atrasos que varia de 0 a 10. trama (Hg) adiciona um eixo horizontal ao gráfico O primeiro comando determina o ACF e o armazena em um objeto (a0) Chamado acfma1 (nossa escolha de nome). O comando de plotagem (o terceiro comando) traça defasagens em relação aos valores de ACF para os retornos 1 a 10. O parâmetro ylab rotula o eixo y eo parâmetro principal coloca um título no gráfico. Para ver os valores numéricos do ACF basta usar o comando acfma1. A simulação e as parcelas foram feitas com os seguintes comandos. Xcarima. sim (n150, lista (mac (0.7))) Simula n 150 valores de MA (1) xxc10 adiciona 10 para fazer média 10. Padrão de simulação significa 0. plot (x, typeb, mainSimulated MA (1) dados) Acf (x, xlimc (1,10), mainACF para dados de amostras simulados) No Exemplo 2, traçamos o ACF teórico do modelo xt 10 wt. 5 w t-1 .3 w t-2. E depois simularam n 150 valores deste modelo e traçaram a série temporal da amostra e a amostra ACF para os dados simulados. Os comandos R utilizados foram acfma2ARMAacf (mac (0,5,0,3), lag. max10) acfma2 lags0: 10 parcela (atrasos, acfma2, xlimc (1,10), ylabr, tipoh, ACF principal para MA (2) com theta1 0,5, (X, typeb, principal série MA (2) simulada) acf (x, xlimc (1,10), x2) MainACF para dados simulados de MA (2) Apêndice: Prova de Propriedades de MA (1) Para estudantes interessados, aqui estão as provas para propriedades teóricas do modelo MA (1). Quando h 1, a expressão anterior 1 w 2. Para qualquer h 2, a expressão anterior 0 (x) é a expressão anterior x (x) A razão é que, por definição de independência do wt. E (w k w j) 0 para qualquer k j. Além disso, porque w t tem média 0, E (w j w j) E (w j 2) w 2. Para uma série de tempo, aplique este resultado para obter o ACF fornecido acima. Um modelo inversível MA é aquele que pode ser escrito como um modelo de ordem infinita AR que converge para que os coeficientes AR convergem para 0 como nos movemos infinitamente no tempo. Bem demonstrar invertibilidade para o modelo MA (1). Em seguida, substituimos a relação (2) para wt-1 na equação (1) (3) (zt wt theta1 (z-theta1w) wt theta1z-theta2w) No tempo t-2. A equação (2) torna-se Então substituimos a relação (4) para wt-2 na equação (3) (zt wt theta1 z - theta21w wt theta1z - theta21 (z - theta1w) wt theta1z-theta12z theta31w) Se continuássemos Infinitamente), obteríamos o modelo AR de ordem infinita (zt wt theta1 z - theta21z theta31z - theta41z dots) Observe, no entanto, que se 1 1, os coeficientes multiplicando os desfasamentos de z aumentarão (infinitamente) em tamanho à medida que retrocedermos Tempo. Para evitar isso, precisamos de 1 lt1. Esta é a condição para um modelo MA (1) invertido. Infinite Order MA model Na semana 3, bem ver que um modelo AR (1) pode ser convertido em um modelo de ordem infinita MA: (xt - mu wt phi1w phi21w pontos phik1 w dots sum phij1w) Esta soma de termos de ruído branco passado é conhecido Como a representação causal de um AR (1). Em outras palavras, x t é um tipo especial de MA com um número infinito de termos remontando no tempo. Isso é chamado de ordem infinita MA ou MA (). Uma ordem finita MA é uma ordem infinita AR e qualquer ordem finita AR é uma ordem infinita MA. Lembre-se na Semana 1, observamos que uma exigência para um AR estacionário (1) é que 1 lt1. Vamos calcular o Var (x t) usando a representação causal. Esta última etapa usa um fato básico sobre séries geométricas que requer (phi1lt1) caso contrário, a série diverge. No último artigo analisámos os passeios aleatórios e o ruído branco como modelos básicos de séries temporais para certos instrumentos financeiros, tais como os preços diários de acções e de acções. Descobrimos que, em alguns casos, um modelo de caminhada aleatória foi insuficiente para captar o comportamento de autocorrelação total do instrumento, o que motiva modelos mais sofisticados. No próximo par de artigos vamos discutir três tipos de modelo, a saber, o modelo de ordem p autorregressivo (AR), o modelo de Ordem Mínima (MO) da ordem q eo modelo de média móvel movimentada (ARMA) de ordem p , Q. Estes modelos nos ajudarão a tentar capturar ou explicar mais da correlação serial presente dentro de um instrumento. Em última análise, eles nos fornecerão um meio de prever os preços futuros. No entanto, é bem conhecido que as séries de tempo financeiro possuem uma propriedade conhecida como agrupamento de volatilidade. Ou seja, a volatilidade do instrumento não é constante no tempo. O termo técnico para esse comportamento é conhecido como heterocedasticidade condicional. Uma vez que os modelos AR, MA e ARMA não são condicionalmente heteroscedásticos, ou seja, eles não levam em conta o agrupamento de volatilidade, em última análise, precisamos de um modelo mais sofisticado para nossas previsões. Tais modelos incluem o modelo condutor condicional condicional (ARCH) e modelo Heteroskedastic condicional condicional generalizado (GARCH), e as muitas variantes dele. GARCH é particularmente bem conhecido em finanças de quant e é usado primeiramente para simulações financeiras da série de tempo como um meio de estimar o risco. No entanto, como todos os artigos do QuantStart, eu quero construir esses modelos a partir de versões mais simples para que possamos ver como cada nova variante muda nossa capacidade de previsão. Apesar de AR, MA e ARMA serem modelos de séries temporais relativamente simples, eles são a base de modelos mais complicados, como a Média Móvel Integrada Autorestrada (ARIMA) ea família GARCH. Por isso, é importante que os estudemos. Uma de nossas primeiras estratégias de negociação na série de artigos de séries temporais será combinar ARIMA e GARCH para prever preços n períodos de antecedência. No entanto, teremos que esperar até discutimos ambos ARIMA e GARCH separadamente antes de aplicá-los a uma estratégia real. Como vamos prosseguir Neste artigo vamos esboçar alguns novos conceitos de séries de tempo que bem precisam para os restantes métodos, Estacionário eo critério de informação Akaike (AIC). Após esses novos conceitos, seguiremos o padrão tradicional para estudar novos modelos de séries temporais: Racional - A primeira tarefa é fornecer uma razão por que estavam interessados em um determinado modelo, como quants. Por que estamos introduzindo o modelo de séries temporais Que efeitos podemos capturar O que ganhamos (ou perdemos) adicionando complexidade extra Definição - Precisamos fornecer a definição matemática completa (e notação associada) do modelo de séries temporais para minimizar Qualquer ambiguidade. Propriedades de Segunda Ordem - Vamos discutir (e em alguns casos derivar) as propriedades de segunda ordem do modelo de séries temporais, que inclui sua média, sua variância e sua função de autocorrelação. Correlograma - Usaremos as propriedades de segunda ordem para traçar um correlograma de uma realização do modelo de séries temporais para visualizar seu comportamento. Simulação - Vamos simular realizações do modelo de série de tempo e, em seguida, ajustar o modelo para estas simulações para garantir que temos implementações precisas e compreender o processo de montagem. Dados Financeiros Reais - Ajustaremos o modelo da série de tempo aos dados financeiros reais e consideraremos o correlograma dos resíduos para ver como o modelo explica a correlação serial na série original. Previsão - Vamos criar n-passo adiante previsões do modelo de série de tempo para realizações específicas, a fim de produzir sinais de negociação. Quase todos os artigos que escrevo sobre modelos de séries temporais cairão nesse padrão e nos permitirá comparar facilmente as diferenças entre cada modelo à medida que adicionamos mais complexidade. Vamos começar por olhar para estacionário rigoroso eo AIC. Estritamente estacionário Nós fornecemos a definição de estacionário no artigo sobre correlação serial. No entanto, como estaremos entrando no reino de muitas séries financeiras, com várias freqüências, precisamos ter certeza de que nossos (eventuais) modelos levem em conta a volatilidade variável no tempo dessas séries. Em particular, precisamos considerar sua heterocedasticidade. Encontraremos este problema quando tentarmos ajustar certos modelos a séries históricas. Geralmente, nem toda a correlação seriada nos resíduos dos modelos ajustados pode ser considerada sem levar em consideração a heterocedasticidade. Isso nos leva de volta à estacionária. Uma série não é estacionária na variância se tiver volatilidade variável no tempo, por definição. Isso motiva uma definição mais rigorosa de estacionariedade, ou seja, a estacionariedade estrita: estritamente estacionária série A série de tempo modelo, é estritamente estacionário se a distribuição estatística conjunta dos elementos x, ldots, x é o mesmo que xm, ldots, xm, Para todos ti, m. Pode-se pensar nesta definição como simplesmente que a distribuição da série temporal é inalterada para qualquer deslocamento abritário no tempo. Em particular, a média ea variância são constantes no tempo para uma série estritamente estacionária ea autocovariância entre xt e xs (digamos) depende apenas da diferença absoluta de t e s, t-s. Estaremos revisitando estritamente séries estacionárias em futuras postagens. Critério de Informação Akaike Eu mencionei em artigos anteriores que eventualmente precisaria considerar como escolher entre melhores modelos separados. Isto é verdade não só de análise de séries temporais, mas também de aprendizagem de máquinas e, em termos mais gerais, de estatísticas em geral. Os dois métodos principais que usaremos (por enquanto) são o Critério de Informação Akaike (AIC) e o Critério de Informação Bayesiano (à medida que avançamos com nossos artigos sobre Estatísticas Bayesianas). Bem, brevemente considerar a AIC, como ele será usado na Parte 2 do ARMA artigo. AIC é essencialmente uma ferramenta para auxiliar na seleção do modelo. Ou seja, se tivermos uma seleção de modelos estatísticos (incluindo séries temporais), então a AIC estima a qualidade de cada modelo, em relação aos outros que temos disponíveis. Baseia-se na teoria da informação. Que é um tópico altamente interessante, profundo que infelizmente não podemos entrar em muito detalhes sobre. Ele tenta equilibrar a complexidade do modelo, que neste caso significa o número de parâmetros, com o quão bem ele se encaixa os dados. Vamos fornecer uma definição: Critério de Informação Akaike Se tomarmos a função de verossimilhança para um modelo estatístico, que tem k parâmetros, e L maximiza a probabilidade. Então o Critério de Informação Akaike é dado por: O modelo preferido, a partir de uma seleção de modelos, tem o mínimo AIC do grupo. Você pode ver que o AIC cresce à medida que o número de parâmetros, k, aumenta, mas é reduzido se a probabilidade de log negativo aumentar. Essencialmente penaliza modelos que são overfit. Vamos criar modelos AR, MA e ARMA de várias ordens e uma maneira de escolher o melhor modelo para um conjunto de dados específico é usar o AIC. Isto é o que bem estar fazendo no próximo artigo, principalmente para os modelos ARMA. Modelos autoregressivos de ordem p O primeiro modelo que irão considerar, que forma a base da Parte 1, é o modelo Autoregressivo de ordem p, muitas vezes abreviado para AR (p). No artigo anterior consideramos a caminhada aleatória. Onde cada termo, xt é dependente unicamente do termo anterior, x e um termo estocástico de ruído branco, wt: O modelo autorregressivo é simplesmente uma extensão da caminhada aleatória que inclui termos mais atrás no tempo. A estrutura do modelo é linear. Que é o modelo depende linearmente sobre os termos anteriores, com coeficientes para cada termo. Isto é de onde o regressivo vem em autorregressivo. É essencialmente um modelo de regressão onde os termos anteriores são os preditores. Modelo auto-regressivo de ordem p Um modelo de série temporal,, é um modelo autorregressivo de ordem p. AR (p), se: begin xt alfa1 x ldots alfa x wt soma p alphai x wt fim Onde está o ruído branco e alphai em mathbb, com alfap neq 0 para um processo autorregressivo p-order. Se considerarmos o operador de mudança de marcha para trás. (Veja o artigo anterior), então podemos reescrever o acima como uma função theta de: begin thetap () xt (1 - alpha1 - alpha2 2 - ldots - alphap) xt wt end Talvez a primeira coisa a notar sobre o modelo AR (p) É que uma caminhada aleatória é simplesmente AR (1) com alfa igual a unidade. Como já dissemos acima, o modelo autogressivo é uma extensão da caminhada aleatória, então isso faz sentido. É fácil fazer previsões com o modelo AR (p), para qualquer tempo t, uma vez que temos os coeficientes alfa determinados, nossa estimativa Simplesmente torna-se: comece hat t alfa1 x ldots alfa x extremidade Portanto, podemos fazer n-passo adiante previsões produzindo chapéu t, chapéu, chapéu, etc até chapéu. De fato, quando considerarmos os modelos ARMA na Parte 2, usaremos a função R predict para criar previsões (juntamente com bandas de intervalo de confiança de erro padrão) que nos ajudarão a produzir sinais de negociação. Estacionaridade para Processos Autoregressivos Um dos aspectos mais importantes do modelo AR (p) é que nem sempre é estacionário. De fato, a estacionaridade de um modelo particular depende dos parâmetros. Ive tocou sobre isso antes em um artigo anterior. Para determinar se um processo AR (p) é parado ou não, precisamos resolver a equação característica. A equação característica é simplesmente o modelo autorregressivo, escrito em forma de mudança para trás, definido como zero: resolvemos esta equação para. Para que o processo autorregressivo particular seja estacionário, precisamos que todos os valores absolutos das raízes dessa equação excedam a unidade. Esta é uma propriedade extremamente útil e nos permite calcular rapidamente se um processo AR (p) está parado ou não. Vamos considerar alguns exemplos para tornar essa idéia concreta: Random Walk - O processo AR (1) com alfa1 1 tem a equação característica theta 1 -. Claramente isto tem a raiz 1 e como tal não é estacionária. AR (1) - Se escolhemos fração alfa, obtemos xt frac x wt. Isto nos dá uma equação característica de 1 - frac 0, que tem uma raiz 4 gt 1 e assim este processo particular de AR (1) é estacionário. AR (2) - Se definimos alpha1 alpha2 frac, então temos xt frac x frac x wt. Sua equação característica se torna - frac () () 0, que dá duas raízes de 1, -2. Uma vez que esta tem uma raiz unitária é uma série não-estacionária. No entanto, outras séries AR (2) podem ser estacionárias. Propriedades da segunda ordem A média de um processo AR (p) é zero. No entanto, as autocovariâncias e autocorrelações são dadas por funções recursivas, conhecidas como as equações de Yule-Walker. As propriedades completas são dadas abaixo: begin mux E (xt) 0 end começo gammak soma p alphai gama, enspace k 0 fim começo rhok soma p alphai rho, enspace k 0 end Note que é necessário conhecer os valores dos parâmetros alfai antes de Calculando as autocorrelações. Agora que weve declarou as propriedades de segunda ordem podemos simular várias ordens de AR (p) e traçar os correlogramms correspondentes. Simulações e Correlogramas Vamos começar com um processo AR (1). Isso é semelhante a uma caminhada aleatória, exceto que alfa1 não tem que igualar a unidade. Nosso modelo vai ter alpha1 0,6. O código R para criar esta simulação é dado como se segue: Note que o nosso loop for é executado de 2 a 100, não 1 a 100, como xt-1 quando t0 não é indexável. Similarmente para processos AR (p) de ordem mais alta, t deve variar de p a 100 neste loop. Podemos traçar a realização deste modelo e seu correlogram associado usando a função de layout: Vamos agora tentar montar um processo AR (p) para os dados simulados que acabamos de gerar, para ver se podemos recuperar os parâmetros subjacentes. Você pode se lembrar que nós realizamos um procedimento semelhante no artigo sobre ruído branco e passeios aleatórios. Como se vê, R fornece um comando útil ar para caber modelos autorregressivos. Podemos usar este método para nos dizer primeiramente a melhor ordem p do modelo (conforme determinado pela AIC acima) e fornecer-nos com estimativas de parâmetros para o alphai, que podemos então usar para formar intervalos de confiança. Para completar, vamos recriar a série x: Agora usamos o comando ar para ajustar um modelo autorregressivo ao nosso processo AR (1), usando estimativa de máxima verossimilhança (MLE) como procedimento de ajuste. Primeiramente, extrairemos a melhor ordem obtida: O comando ar determinou com sucesso que nosso modelo de série temporal subjacente é um processo AR (1). Podemos então obter as estimativas dos parâmetros alfai: O procedimento MLE produziu uma estimativa, somando 0,523, que é ligeiramente inferior ao valor verdadeiro de alfa1 0,6. Finalmente, podemos usar o erro padrão (com a variância assintótica) para construir 95 intervalos de confiança em torno do (s) parâmetro (s) subjacente (s). Para isso, simplesmente criamos um vetor c (-1.96, 1.96) e depois o multiplicamos pelo erro padrão: O parâmetro verdadeiro está dentro do intervalo de confiança de 95, como esperamos do fato de termos gerado a realização a partir do modelo especificamente . Como se mudarmos o alpha1 -0.6 Como antes podemos ajustar um modelo AR (p) usando ar: Mais uma vez recuperamos a ordem correta do modelo, com uma boa estimativa hat -0.597 de alfa1-0.6. Verificamos também que o verdadeiro parâmetro está dentro do intervalo de confiança de 95 vezes mais uma vez. Vamos adicionar um pouco mais de complexidade aos nossos processos autorregressivos, simulando um modelo de ordem 2. Em particular, vamos definir alpha10.666, mas também definir alpha2 -0.333. Heres o código completo para simular e traçar a realização, bem como o correlograma para uma série como: Como antes podemos ver que o correlogram difere significativamente do ruído branco, como wed esperar. Existem picos estatisticamente significativos em k1, k3 e k4. Mais uma vez, iríamos usar o comando ar para ajustar um modelo AR (p) à nossa realização subjacente AR (2). O procedimento é semelhante ao do ajuste AR (1): A ordem correta foi recuperada e as estimativas do parâmetro hat 0.696 e hat -0.395 não estão muito longe dos valores dos parâmetros verdadeiros de alfa10.666 e alfa2-0.333. Observe que recebemos uma mensagem de aviso de convergência. Observe também que R realmente usa a função arima0 para calcular o modelo AR. Como aprendemos em artigos subseqüentes, os modelos AR (p) são simplesmente modelos ARIMA (p, 0, 0) e, portanto, um modelo AR é um caso especial de ARIMA sem componente de Moving Average (MA). Bem, também estar usando o comando arima para criar intervalos de confiança em torno de vários parâmetros, razão pela qual weve negligenciado fazê-lo aqui. Agora que nós criamos alguns dados simulados, é hora de aplicar os modelos AR (p) às séries temporais de ativos financeiros. Dados financeiros Amazon Inc. Permite começar por obter o preço da ação para a Amazônia (AMZN) usando quantmod como no último artigo: A primeira tarefa é sempre traçar o preço para uma breve inspeção visual. Neste caso, bem usando os preços de fechamento diário: Você vai notar que o quantmod acrescenta alguma formatação para nós, ou seja, a data, e um gráfico um pouco mais bonito do que os gráficos R habituais: Vamos agora tomar os retornos logarítmicos de AMZN e, em seguida, o primeiro - order da série, a fim de converter a série de preços originais de uma série não-estacionária para uma (potencialmente) estacionária. Isso nos permite comparar maçãs com maçãs entre ações, índices ou qualquer outro ativo, para uso em estatísticas multivariadas posteriores, como no cálculo de uma matriz de covariância. Se você quiser uma explicação detalhada sobre por que os retornos de log são preferíveis, dê uma olhada neste artigo mais em Quantivity. Permite criar uma nova série, amznrt. Para manter nossos logs diferenciados retorna: Mais uma vez, podemos plotar a série: Nesta fase, queremos traçar o correlograma. Estavam olhando para ver se a série diferenciada parece ruído branco. Se não houver, então há inexplicável correlação serial, o que pode ser explicado por um modelo autorregressivo. Observamos um pico estatisticamente significativo em k2. Daí há uma possibilidade razoável de correlação seriada inexplicada. Esteja ciente, porém, que isso pode ser devido a viés de amostragem. Como tal, podemos tentar montar um modelo AR (p) para a série e produzir intervalos de confiança para os parâmetros: Ajustar o modelo autorregressivo ar à série de ordem diferenciada de preços de log produz um modelo AR (2), com hat -0.0278 E chapéu -0,0687. Ive também saída a variância austóptica para que possamos calcular erros padrão para os parâmetros e produzir intervalos de confiança. Queremos ver se zero é parte do intervalo de confiança 95, como se fosse, ele reduz a nossa confiança de que temos um verdadeiro processo AR (2) subjacente para a série AMZN. Para calcular os intervalos de confiança no nível 95 para cada parâmetro, usamos os seguintes comandos. Tomamos a raiz quadrada do primeiro elemento da matriz de variância assintótica para produzir um erro padrão, então criamos intervalos de confiança multiplicando-o por -1,96 e 1,96, respectivamente, para o nível 95: Note que isso se torna mais direto quando se usa a função arima , Mas esperar bem até a parte 2 antes de introduzi-la corretamente. Assim, podemos ver que para alfa1 zero está contido dentro do intervalo de confiança, enquanto que para alfa2 zero não está contido no intervalo de confiança. Portanto, devemos ter muito cuidado ao pensar que realmente temos um modelo generative AR (2) subjacente para AMZN. Em particular, observamos que o modelo autorregressivo não leva em conta o agrupamento da volatilidade, o que leva ao agrupamento da correlação serial em séries temporais financeiras. Quando consideramos os modelos ARCH e GARCH em artigos posteriores, vamos explicar isso. Quando chegarmos a usar a função arima completo no próximo artigo, faremos previsões da série diária de preços de registro para nos permitir criar sinais comerciais. SampP500 US Equity Index Junto com ações individuais, podemos também considerar o US Equity Index, o SampP500. Vamos aplicar todos os comandos anteriores a esta série e produzir as parcelas como antes: Podemos traçar os preços: Como antes, bem criar a diferença de primeira ordem do log preços de fechamento: Mais uma vez, podemos traçar a série: É claro Deste gráfico que a volatilidade não é estacionária no tempo. Isto também se reflete na trama do correlograma. Existem muitos picos, incluindo k1 e k2, que são estatisticamente significativos para além de um modelo de ruído branco. Além disso, vemos evidências de processos de memória longa, pois existem picos estatisticamente significativos em k16, k18 e k21: Em última análise, precisamos de um modelo mais sofisticado do que um modelo autorregressivo de ordem p. No entanto, nesta fase ainda podemos tentar ajustar esse modelo. Vamos ver o que temos se fizermos isso: Usando ar produz um modelo AR (22), ou seja, um modelo com 22 parâmetros não-zero O que isso nos diz É indicativo que há provavelmente muito mais complexidade na correlação serial do que Um modelo linear simples de preços passados pode realmente explicar. No entanto, já sabíamos disso porque podemos ver que há uma correlação serial significativa na volatilidade. Por exemplo, considere o período altamente volátil em torno de 2008. Isso motiva o próximo conjunto de modelos, ou seja, a Média Móvel Mínima (q) e a Média Móvel Autoregressiva ARMA (p, q). Bem, aprender sobre estes dois na parte 2 deste artigo. Como repetidamente mencionaremos, estes acabarão por nos levar à família de modelos ARIMA e GARCH, ambos proporcionando um ajuste muito melhor à complexidade de correlação serial do Samp500. Isso nos permitirá melhorar significativamente nossas previsões e, em última instância, produzir estratégias mais rentáveis. Clique abaixo para saber mais sobre. A informação contida neste site é a opinião dos autores individuais com base em sua observação pessoal, pesquisa e anos de experiência. O editor e seus autores não são conselheiros de investimentos, advogados, CPAs ou outros profissionais de serviços financeiros registrados e não prestam serviços de consultoria jurídica, tributária, contábil, de investimento ou outros serviços profissionais. As informações oferecidas por este site são apenas educação geral. 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